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伝達関数G(s)でs=jωにて周波数応答が得られる理由

作成、更新 2000-3-18


LaTeX2eの出力はこちら。(jw.png : 38kB)

(以下はLaTeX2eのソースです。LaTeX2eについて知りたい人はそのへんの本屋とか検索エンジンで調べてみて下さい。:-)


%%というわけで、普段TeXは使わないので、素人っぽい記述の仕方ですが、ご勘弁下さい。(笑)%%
\documentclass[a4j,10pt,onecolumn,oneside,notitlepage,fleqn,final]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\title{伝達関数$G(s)$で$s=j\omega$にて周波数応答が得られる理由}
\author{"atmori" smori@digital.artist.ne.jp}
\date{2000/3/15}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
具体的な方が判り易いので
\[
G(s)=\frac{1}{s+a}
\]
なる伝達関数で考える。$\sin (\omega t)$のラプラス変換は  
\[
 {\cal L}\bigl\{\sin (\omega t)\bigl\}\to \frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}
\]
であるから$G(s)$の周波数応答は
\[\frac{1}{s+a}\times\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}
\]となる。
\[
\frac{1}{s+a}\times\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}} = \frac{\omega}{(s+a)(s^{2}+\omega^{2})}
\]
と置き、これを部分分数分解して
\[
\frac{\omega}{(s+a)(s^{2}+\omega^{2})}=\frac{A}{(s+a)} + \frac{B}{(s^{2}+\omega^{2})}= \frac{A(s^2+\omega^2)}{(s+a)(s^2+\omega^2)}+\frac{B(s+a)}{(s+a)(s^2+\omega^2)}
\]
分子を比較して
\[
F(s)\equiv A(s^2+\omega^2)+B(s+a)=\omega
\]
Aを求めるために$F(s)$で$s=-a$とおけば
\[
F(-a)=A(a^2+\omega^2)=\omega 
\]
Bを求めるために$F(s)$で\fbox{\textbf{$s=j\omega$}とおけば}
\[
F(j\omega)=B(j\omega+a)=\omega 
\]
従って
\[
A=\frac{\omega}{a^2+w^2}\qquad B=\frac{\omega}{j\omega+a}
\]
これらA,Bはsを含まない。従って逆ラプラス変換は
\[
 {\cal L}^{-1}\Biggl\{\frac{A}{(s+a)} + \frac{B}{(s^{2}+\omega^{2})}\Biggl\}\longrightarrow A\cdot\exp(-at)+\frac{1}{j\omega+a}\cdot\sin(\omega t)\xrightarrow{(t\to \infty)}
 G(j\omega)\cdot\sin(\omega t)\]
\[
\{∵A\cdot\exp(-at)\xrightarrow{(t\to \infty)}
0 , \qquad\frac{1}{j\omega+a}=G(s\leftharpoonup j\omega)\}
\]    
となる。この様に、$G(s)$に$\sin$波形を加えると、$\exp$の指数項と$\sin$の振動項とに別れ、
もし$a<0$ならば、$\exp(-at)$の項は$t\to \infty$で無限大となり、周波数応答を持たず発散する。
aが正ならば、指数項は0に収束するので、最終的に振動項のみが残り、$\sin(\omega t)$の振幅と位相は係数である、
$G(j\omega)$によって求まる。\\
一般的な伝達関数$G(s)$の場合で考えると、結局、部分分数分解の係数を求める時に振動項の係数を、
${\cal L}\{\sin(\omega t)\}$の分母である$(s^2+\omega^2)$の根:$s=j\omega$を$G(s)$に代入して求めることになる。
従って$t\to\infty$で$G(s)\cdot\frac{\omega}{(s^{2}+\omega^{2})}$が発散しないならば、
定常項として$G(j\omega)\cdot\sin(\omega t)$が残り、その位相と振幅は$G(j\omega)$によって求まる。
\begin{flushright}
(説明終わり)\\
(本稿は$\LaTeXe$により記述しました。)
\end{flushright}
\end{document}