FEMに微分方程式が出てくる理由。

FEMに微分方程式が出てくる理由として、こんな風に考えているのですが
どうでしょか？

□--OOOOOO---oooooo---> X
     f1        f2
     k1        k2
     x1        x2

上記の２本の直列バネを全体でXの長さだけ伸ばすとします。
     
バネ1にf1の力がかかり、伸びx1 (f1=k1*x1)
バネ2にf2の力がかかり、伸びx2 (f2=k2*x2)
の状態になっているとします。
又　X=x1 + x2 です。

ここで普通なら f1=f2ですが、ここでは、その事は敢えてわかっていないとします
さて、f1=f2とは限らないとすると、例えば Xの伸びを 全部バネ1が受け持って
x1=X , x2=0     でも x1+x2=Xだし
x1=X/2 , x2=X/2 でも x1+x2=Xとなるわけですが、

弾性問題では、全ポテンシャルエネルギーが最低となる位置で停留するという
「ポテンシャルエネルギー最小化の法則」っていうのがありまして、
これは弾性でも磁場解析でも電位解析でも、とにかく適当なポテンシャルエネルギー関数
を定義すればそれが最小になるようなポテンシャルを求めると、実際のポテンシャル分布
になります。（らしいです(笑)）
これらの場合、最低値になる時に微分係数は0となりますので、微分係数が0となる点を
求めればいいってことで、

この時エネルギーとしてW=FX/2 を考えると
W=0.5* (f1*x1   + f2*x2  ) で x2=X-x1 だから
W=0.5*( k1*x1^2 + k2*x2^2) = 0.5*( k1*x1 + k2*X^2 - 2*k2*X*x1 + k2*x1^2 )
となります。
ここでWはx1の関数になっているので (  W=G(x1) )を x1で微分すれば
dW/d(x1)=0.5*( 2*x1*k1 - 2*X*k2 + 2*x1*k2 )  これが =0なので
x1=X * k2/(k1+k2) , x2=X * k1/(k1+k2) となります。

むろん、この様に「ポテンシャルエネルギー最小化の法則」を使わずに剛性マトリクスを
作ってもいいのですが、多くの場合はこの「ポテンシャルエネルギー最小化の法則」
っていうのが使われているので微分方程式が出てくる、ということです。
(何故、良く使われるか？っていうのはよくわからないのですが、多分いろいろと
　便利なのでしょう）

何か勘違いしている所があったら指摘してくださいませ。

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